题目内容

如图①，在矩形纸片ABCD中，AB= $数学公式$ +1，AD= $数学公式$ ．
（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为；
（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为；
（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）

解：（1）∵△ADE反折后与△AD′E重合，
∴AD′=AD=D′E=DE= $\text{[math]}$ ，
∴AE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）∵由（1）知AD′= $\text{[math]}$ ，
∴BD′=1，
∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，
∴B′D′=BD′=1，
∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE= $\text{[math]}$ ，
∴四边形ADED′是正方形，
∴B′F=AB′= $\text{[math]}$ -1，
∴S_{梯形B′FED′}= $\text{[math]}$ （B′F+D′E）•B′D′= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1+ $\text{[math]}$ ）×1= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；
故答案为：（1） $\text{[math]}$ ；（2） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；

（3）∵∠C=90°，BC= $\text{[math]}$ ，EC=1，
∴tan∠BEC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠BEC=60°，
由翻折可知：∠DEA=45°，
∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先根据图形反折变换的性质得出AD′，D′E的长，再根据勾股定理求出AE的长即可；
（2）由（1）知，AD′= $\text{[math]}$ ，故可得出BD′的长，根据图形反折变换的性质可得出B′D′的长，再由等腰直角三角形的性质得出B′F的长，根据梯形的面积公式即可得出结论；
（3）先根据直角三角形的性质求出∠BEC的度数，由翻折变换的性质可得出∠DEA的度数，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧长公式即可得出结论．
点评：本题考查的是图形的翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．