Question

如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．

（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．

Answer 1

解：（1）如图1，作AH⊥BC于H，则∠AHB=90°。

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3。
∵∠AHB=90°，∴BH=BC=。
在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH=。
∴。
（2）如图2，当0＜x≤时，。

作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°。
∴DG=x，AG=。
∴。
如图3，当＜x＜3时，作MG⊥DE于G，

∵AD=x，∴BD=DM=3－x，
∴DG=，MF=MN=2x－3，MG=
∴。
综上所述，y关于x的函数解析式为。
（3）当0＜x≤时，
∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=时，。
当＜x＜3时，，
∵a=＜0，开口向下，∴x=2时，
∵＞，∴y最大时，x=2。
∴DE=2，BD=DM=1。
如图4，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，

∴DO=OE=1。∴DM=DO。
∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形。
∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1。
∴MO=OE，∠MOE=120°。
∴∠OME=30°。∴∠DME=90°。
∴DE是直径。
∴。

（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值。
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式。
（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值。