题目内容

对关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）．下列结论中：
①方程的解为 $数学公式$ ；②若a+c=0，方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根；
③若方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x²+bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；④若二次三项式ax²+bx+c是完全平方式，则方程ax²+bx+c=0必有两相等实根；其中正确的结论是

A.
①③④
B.
①②④
C.
②③④
D.
①②③

C
分析：①根据根的判别式的情况进行判断；
②先整理出c=-a，然后利用根的判别式即可进行判断；
③根据两个方程的根的判别式进行判断；
④根据完全平方公式的结构，b=2 $\text{[math]}$ ，再求出根的判别式=0，即可进行判断．
解答：①若△=b²-4ac＜0，则方程没有实数解，故本小题错误；
②∵a+c=0，
∴c=-a，
∴△=b²-4ac=b²-4a（-a）=b²+4a²，
∵b²≥0，4a²＞0，
∴△＞0，
∴方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，故本小题正确；
③∵方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，
∴△=b²-4ac＞0，
方程x²+bx+ac=0的△=b²-4ac＞0，
∴方程x²+bx+ac=0也一定有两个不等的实数根，故本小题正确；
④∵二次三项式ax²+bx+c是完全平方式，
∴b=2 $\text{[math]}$ ，
∴△=b²-4ac=b²-4× $\text{[math]}$ b²=0，
∴方程ax²+bx+c=0必有两相等实根，故本小题正确，
综上所述，正确的结论是②③④．
故选C．
点评：本题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
求出各小题的△的正负情况是解题的关键．

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