Question

已知：如图AC⊥AB于A，DB⊥AB于B，CP⊥PD于P，点P在AB上，且AP=BD．求证：△PCD为等腰直角三角形．

Answer 1

证明：∵AC⊥AB，DB⊥AB，CP⊥PD，
∴∠A=∠B=∠CPD=90°，
∴∠ACP+∠APC=90°，∠APC+∠BPD=90°，
∴∠ACP=∠BPC，
∵AP=BD，
∴△ACP≌△BPD（ASA），
∴CP=DP，
∴△PCD为等腰直角三角形．
分析：由AC⊥AB，DB⊥AB，CP⊥PD，可证得∠A=∠B=∠CPD=90°，又由同角的余角相等，即可求得∠ACP=∠BPC，又由AP=BD，根据ASA即可证得△ACP≌△BPD，则问题得证．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的定义．解此题的关键是要注意同角的余角相等性质的应用．