Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD沿PD翻拆，点B落在点E处，设PE交AC于F，连接CD

(1)求证：△PCF的周长=CD；
(2)设DE交AC于G，若，CD=6，求FG的长

Answer 1

（1）证明见解析；（2）FG的长为．

试题分析：.(1)连接CE，根据三角形的角边关系可以得到∠FCE=∠FEC，从而FC=FE，△PCF的周长＝CD；
(2) 由.(1)结论CP+PF+CF=CD，和，CD=6，求出CF=EF=，作GK⊥EF于点K，易得FG的长为．
试题解析：.(1)连接CE，

∵CA=CB,D为AB中点，
∴∠BCD=∠ACD=45°，
由翻折可知∠B=∠DEP=45°，
∴∠DCF=∠DEF=45°，
CD=BD=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE-∠DCA=∠DEC-∠DEF，
即∠FCE=∠FEC，
∴FC=FE，
∴CF+PF=PE=BP，
∴CP+PF+CF=BC=CD，
∴△PCF的周长＝CD；
(2)∵，
∴设PF=5x,EF=CF=3x，
在Rt△FCP中,PF²=CP²+CF²，
∴CP=4x，
∵CP+PF+CF=CD，
∴4x+5x+3x=6，
x=，
CF=EF=3x=，
作GK⊥EF于点K，

∵tan∠GFE=tan∠PFC==，
设GK=4a,FK=3a,EK=4a，
∴EF=7a=，
a=，
FG=5a=，
∴FG的长为．