题目内容
已知抛物线y=x2+ax+a-3
(1)求证:不论a取何值,抛物线与x轴总有两个交点.
(2)当a=5时,求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
(3)直接写出a=
(1)求证:不论a取何值,抛物线与x轴总有两个交点.
(2)当a=5时,求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
(3)直接写出a=
2
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时,抛物线与x轴的两个交点间的距离最小.分析:(1)求抛物线解析式的判别式,利用配方法判断△>0即可;
(2)设抛物线与x轴两交点横坐标为x1,x2,利用两根关系求|x1-x2|的值;
(3)利用两根关系求|x1-x2|的表达式,利用非负数的性质求最小值.
(2)设抛物线与x轴两交点横坐标为x1,x2,利用两根关系求|x1-x2|的值;
(3)利用两根关系求|x1-x2|的表达式,利用非负数的性质求最小值.
解答:解:(1)证明:∵△=a2-4(a-3)=(a-2)2+8>0,
∴不论a取何值,抛物线与x轴总有两个交点;
(2)当a=5时,求抛物线为y=x2+5x+2,
设抛物线与x轴两交点横坐标为x1,x2,
则x1+x2=-5,x1x2=2,
∴|x1-x2|=
=
=
=
,
∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为
;
(3)∵x1+x2=-a,x1x2=a-3,
∴|x1-x2|=
=
=
=
,
∴a=2抛物线与x轴的两个交点间的距离最小,
故答案是2.
∴不论a取何值,抛物线与x轴总有两个交点;
(2)当a=5时,求抛物线为y=x2+5x+2,
设抛物线与x轴两交点横坐标为x1,x2,
则x1+x2=-5,x1x2=2,
∴|x1-x2|=
(x1-x2) 2 |
(x1+x2) 2-4x1x2 |
25-8 |
17 |
∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为
17 |
(3)∵x1+x2=-a,x1x2=a-3,
∴|x1-x2|=
(x1-x2) 2 |
(x1+x2) 2-4x1x2 |
a2-4a+12 |
(a-2)2+8 |
∴a=2抛物线与x轴的两个交点间的距离最小,
故答案是2.
点评:本题考查了抛物线 与x轴的交点求法,根的判别式的运用,两点间的距离的求解.关键是熟悉抛物线与x轴的交点个数的判断方法,利用两根关系求两交点间的距离.
练习册系列答案
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A、4 | B、8 | C、-4 | D、16 |