Question

如图，已知正方形ABCD对角线交于点O，点P、点Q分别是BC、CD上的点，DP⊥AQ．求证：OQ⊥OP．

Answer 1

证明：∵DP⊥AQ，
∴∠DAQ+∠DQA=90°，∠CDP+∠CPD=90°，∠DQA+∠CDP=90°
∴∠DAQ=∠CDP
又∵AD=DC，∠ADC=∠DCB=90°
∴△ADQ≌△DCP（ASA）
∴DQ=CP
由正方形性质可知OD=OC，∠ODQ=∠OCP=45°
∴△DOQ≌△COP（SAS）
∴∠1=∠2
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°
∴OP⊥OQ
分析：由DP⊥AQ易证∠DAQ=∠CDP，进而证明△ADQ≌△DCP得DQ=CP，进而证明△DOQ≌△COP得∠1=∠2，即可得∠2+∠3=90°，即可证明OP⊥OQ．
点评：本题考查了正方形各边相等、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定及全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中正确的求证△ADQ≌△DCP得DQ=CP是解题的关键．