Question

在⊙O的内接△ABC中，AD⊥BC于D，
（1）①图1中，若作直径AP，求证：AB•AC=AD•AP；
②已知AB+AC=12，AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x．求y与x的函数关系式，及自变量x的取值范围；
（2）图2中，点E为⊙O上一点，且

AE

=

AB

，求证：CE+CD=BD．

Answer 1

分析：（1）连接BP，求出△ADC∽△ABP，得出比例式，即可求出答案；
（2）根据AB•AC=AP•AD，代入求出即可；
（3）连接AE，BE，在BD上截取DF=DC，连接AF，求出AB=AE，AF=AC，∠1=∠6，证△ABF≌△AEC，推出BF=CE即可．

解答：（1）证明：连接BP，
∵AP是直径，
∴∠ABP=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°=∠ABP，
∵∠C=∠P，
∴∠ADC∽△ABP，
∴

AB

AD

=

AP

AC

，
∴AB•AC=AD•AP；

（2）解：∵AB+AC=12，AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x，
∴AP=2y，AC=12-x，
∵AB•AC=AD•AP，
∴x•（12-x）=2y•3，
∴y=-

1

6

x²+2x
∵AB+AC=12，AB是三角形边长，
∴x＞3，x＜12，
即x的取值范围是：3＜x＜12；

（3）解：连接AE，BE，在BD上截取DF=DC，连接AF，
∵弧AB=弧AE，
∴AB=AE，∠ACB=∠2+∠3，
∵DF=DC，AD⊥BC，
∴AF=AC，
∴∠4=∠ACD=∠2+∠3，
∵∠4=∠1+∠2，
∴∠3=∠1，
∵∠6=∠3，
∴∠1=∠6，
在△ABF和△AEC中，

AB=AE ∠1=∠6 AF=AC

∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴BF=CE，
∵BD=BF+DF，CD=DF，
∴CE+CD=BD．

点评：本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点的综合运用，题目综合性比较强，难度偏大．