Question

在直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为AB延长线上一点（不含B点），连接PC交⊙M于Q，连接DQ，若A（-1，0），C（0，

3

）

（1）求圆心M的坐标；
（2）过B点作BH⊥DQ于H，当P点运动时，线段CQ、QH、DH有何数量关系，证明你的结论；
（3）R为⊙M的直径DF延长线上的一个动点（不包括F点），过B、F、R三点作⊙N，CF交⊙N于T，当R点在DF延长线上运动时，FT-FR的值是否变化？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接MC、AC，根据A、C坐标求出∠CAM，得出等边三角形CAM即可；
（2）连接BC、BD，在DQ上截取DN=CQ，连接BN，由垂径定理求出CO=DO，CB=DB，根据SAS证△CQB≌△DNB，推出BN=BQ，求出QH=HN即可；
（3）连接BF、BT、BR，推出△FMB是等边三角形，得出BF=BM，∠FBM=60°，求出CF∥AB，推出∠TFB=∠FMB，加上∠R=∠T，得出△RBM≌△TBF，得出FT=MR，求出FT-FR=FM=2．

解答：（1）解：连接MC、AC，
∵A（-1，0），C（0，

3

），
∴OA=1，OC=

3

，AC=

( 3 )2+12

=2
tan∠CAB=

OC

OA

=

3

，
∴∠CAB=60°，
∵MA=MC，
∴△ACM是等边三角形，
∴MA=MC=AC=2，
∴OM=2-1=1，
即M的坐标是（1，0）；

（2）线段CQ、QH、DH的数量关系是CQ=DH-HQ，
证明：连接BC、BD，在DQ上截取DN=CQ，连接BN，
∵AM⊥CD，
∴由垂径定理得：CO=DO，
∴CB=DB，
∵∠QCB和∠QDB都对弧BQ，
∴∠QCB=∠QDB，
∵在△CQB和△DNB中

CQ=DN ∠QCB=∠BDN CB=DB

，
∴△CQB≌△DNB，
∴BN=BQ，
∵BH⊥DQ，
∴QH=HN，
∴CQ=DN=DH-HN=DH-HQ，
即线段CQ、QH、DH的数量关系是CQ=DH-HQ；

（3）解：FT-FR的值不变化，永远等于2，
理由是：连接BF、BT、BR，
∵OM=1，OD=OC=

3

，
根据勾股定理得：DM=2，
即OM=

1

2

DM，
∴∠ODM=30°，
∴∠OMD=90°-30°=60°，
∴∠OMD=60°=∠FMB，
∵MF=MB，
∴△FMB是等边三角形，
∴BF=BM，∠FBM=60°，
∵DF为直径，
∴∠FCD=90°=∠COM，
∴CF∥AB，
∴∠TFB=∠FBM=60°=∠FMB，
∵弧BF对的圆周角是∠R和∠T，
∴∠R=∠T，
∵在△RBM和△TBF中

∠R=∠T ∠TFB=∠RMB BM=BF

，
∴△RBM≌△TBF，
∴FT=MR，
∴FT-FR=MR-FR=MF，
∵C（0，

3

），m（1，0），
∴MF=MC=

12+( 3 )2

=2
∴FT-FR=2，
即FT-FR的值不变化，恒等于2．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．