题目内容

【题目】如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,

(1)的值为

(2)求证:AE=EP;

(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)证明见解析;(3)存在,证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)由正方形的性质可得:∠B=∠C=90°,由同角的余角相等,可证得:∠BAE=∠CEF,根据同角的正弦值相等即可解答;

(2)在BA边上截取BK=BE,连接KE,根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP,由AB=CB,BK=BE,得AK=EC,结合∠KAE=∠CEP,证明△AKE≌△ECP,于是结论得出;

(3)作DM⊥AE于AB交于点M,连接ME、DP,易得出DM∥EP,由已知条件证明△ADM≌△BAE,进而证明MD=EP,四边形DMEP是平行四边形即可证出.

试题解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,

∴∠B=∠D,

∵∠AEP=90°,

∴∠BAE=∠FEC,

在Rt△ABE中,AE=

∵sin∠BAE==sin∠FEC=

(2)在BA边上截取BK=BE,连接KE,

∵∠B=90°,BK=BE,

∴∠BKE=45°,

∴∠AKE=135°,

∵CP平分外角,

∴∠DCP=45°,

∴∠ECP=135°,

∴∠AKE=∠ECP,

∵AB=CB,BK=BE,

∴AB-BK=BC-BE,

即:AK=EC,

由第一问得∠KAE=∠CEP,

∵在△AKE和△ECP中,

∴△AKE≌△ECP(ASA),

∴AE=EP;

(3)存在.

证明:作DM⊥AE交AB于点M,

则有:DM∥EP,连接ME、DP,

∵在△ADM与△BAE中,

∴△ADM≌△BAE(ASA),

∴MD=AE,

∵AE=EP,

∴MD=EP,

∴MDEP,MD=EP,

∴四边形DMEP为平行四边形.

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