Question

（2013•盘锦二模）如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，AT=2

3

，则图中阴影部分的面积是

3 3

2

-

2

3

π

．

Answer 1

分析：首先利用圆周角定理以及勾股定理得出BT的长，进而得出△OTD是等边三角形，得出AB∥DT，即可得出∠TDC的度数，进而得出DC，TC的长，即可得出S_弓形DT=S_扇形DOT-S_△DOT，阴影部分面积=S_△DCT-S_弓形DT求出即可．

解答：解：连接OD，OT，BT，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BTA=90°，
∵⊙O的半径为2，AT=2

3

，
∴BT=2，
∴∠BAT=∠TAC=30°，
∴∠TOD=60°，
∵OT=OD，
∴△OTD是等边三角形，
∴OT=OD=TD=2，∠ODT=60°，
同理可得出：∠AOD=60°，
∴AB∥DT，
∴∠TDC=60°，
∵∠DCT=90°，
∴∠DTC=30°，
∴CD=

1

2

DT=1，
∴TC=

3

，
可得△ODT的高为：2×sin60°=

3

，
S_弓形DT=S_扇形DOT-S_△DOT=

60π×22

360

-

1

2

×2×

3

=

2

3

π-

3

，
阴影部分面积=S_△DCT-S_弓形DT=

1

2

×1×

3

-（

2

3

π-

3

）=

3 3

2

-

2

3

π．
故答案为：

3 3

2

-

2

3

π．

点评：此题主要考查了扇形面积公式以及圆周角定理和等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，根据已知得出DC，TC的长是解题关键．