Question

（2013•盘锦二模）某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25%，设每双鞋的成本价为a元．
（1）试求a的值；
（2）为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x（万元）时，产品的年销售量将是原来年销售量的y倍，且y与x之间的关系如图所示，可近似看作是抛物线的一部分．请根据图象提供的信息，求出y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下求年利润S （万元）与广告费x（万元）之间的函数关系式，并请回答广告费x（万元）在什么范围内，公司获得的年利润S（万元）随广告费的增大而增多？（注：年利润S=年销售总额-成本费-广告费）

Answer 1

分析：（1）根据成本加上利润等于销售价，可以求出每双鞋的成本价．
（2）根据抛物线上的三个点（0，1），（2，1.36），（4，1.64），用待定系数法求出抛物线的解析式，得到y与x之间的函数关系式．
（3）根据年利润等于年销售总额减去成本减去广告费，可以得到S关于x的函数，利用二次函数的性质求出S随x增大而增大的x的取值范围．

解答：解：（1）依题意有：a（1+25%）=250，
解得：a=200；

（2）根据图形得到三个点（0，1），（2，1.36），（4，1.64）
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c
用待定系数法有：

c=1   4a+2b+c=1.36   16a+4b+c=1.64

解得：

a=- 1 100   b= 1 5   c=1

∴y=-

1

100

x²+

1

5

x+1．

（3）S=10y×（250-200）-x
=-5x²+99x+500，
∵-5＜0，对称轴为x=-

b

2a

=-

99

2×(-5)

=9.9，
∴当0＜x＜9.9万元时，S随着x的增大而增大．

点评：本题考查的是二次的应用，（1）根据成本，利润与销售价的关系求出成本．（2）用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）利用利润减去成本减去广告费求出S关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出S随x增大的范围．