题目内容

(1)如图,把∠MPN的顶点P放在三等分角器的BD线上,移动器具,使∠MPN的一边MP过点A,另一边PN和半圆相切.请你说明直线PB和PO三等分∠MON.
(2)若从量角器上读的∠COE=x(0<x<90°)请用含x的代数式表示∠MPN的度数.
分析:(1)证Rt△PBO≌Rt△PEO,推出∠OPE=∠OPB,求出PA=PO,根据等腰三角形性质求出∠MPB=∠OPB,即可得出答案;
(2)根据全等推出∠POB=∠POE,求出∠POE=
(180°-x)=90°-
x,根据三角形内角和定理求出∠MPO=
x,代入∠MPN=3∠MPO求出即可.
(2)根据全等推出∠POB=∠POE,求出∠POE=
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解答:解:(1)∵PN切⊙O于E,
∴PE⊥OE,
∵∠PBO=∠PEO=90°,
在Rt△PBO和Rt△PEO中,
,
∴Rt△PBO≌Rt△PEO(HL),
∴∠OPE=∠OPB,
∵AB=BO,PB⊥OA,
∴PA=PB,
∴∠MPB=∠OPB,
即∠MPB=∠OPB=∠NPO.
(2)∵Rt△PBO≌Rt△PEO,
∴∠POB=∠POE,
∵∠EOC=x,
∴∠POE=
(180°-x)=90°-
x,
∵∠PEO=90°,
∴∠MPO=90°-(90°-
x)=
x,
∴∠MPN=3∠MPO=
x.
∴PE⊥OE,
∵∠PBO=∠PEO=90°,
在Rt△PBO和Rt△PEO中,
|
∴Rt△PBO≌Rt△PEO(HL),
∴∠OPE=∠OPB,
∵AB=BO,PB⊥OA,
∴PA=PB,
∴∠MPB=∠OPB,
即∠MPB=∠OPB=∠NPO.
(2)∵Rt△PBO≌Rt△PEO,
∴∠POB=∠POE,
∵∠EOC=x,
∴∠POE=
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∵∠PEO=90°,
∴∠MPO=90°-(90°-
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1 |
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∴∠MPN=3∠MPO=
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2 |
点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形性质,线段垂直平分线性质,切线的性质的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.

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