题目内容
已知二次函数的图象是经过点A(1,0),B(3,0),E(0,6)三点的一条抛物线。
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,设抛物线的顶点为C,对称轴交x轴于点D,在y轴正半轴上有一点P,且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似,求P点的坐标。
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,设抛物线的顶点为C,对称轴交x轴于点D,在y轴正半轴上有一点P,且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似,求P点的坐标。
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20111021/201110210949465312499.gif)
解:(1)设抛物线解析式为:y=a(x-1)(x-3),
∵过E(0,6),
∴6=a×3,
∴a=2,
∴y=2x2-8x+6;
(2)y=2x2-8x+6=2(x2-4x+3)-2=2(x-2)2-2,
∴C(2,-2),对称轴直线x=2,D(2,0),
△ACD为直角三角形,AD=1,CD=2,OA=1,
当△AOP∽△ACD时,
,
,
∴OP=2,
∵ P在y轴正半轴上,
∴P(0,2),
当△PAO∽△ACD时,
,
,OP=
,
P在y轴正半轴上,
∴P(0,
)。
∵过E(0,6),
∴6=a×3,
∴a=2,
∴y=2x2-8x+6;
(2)y=2x2-8x+6=2(x2-4x+3)-2=2(x-2)2-2,
∴C(2,-2),对称轴直线x=2,D(2,0),
△ACD为直角三角形,AD=1,CD=2,OA=1,
当△AOP∽△ACD时,
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20111021/201110210949465621269.gif)
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20111021/201110210949465931084.gif)
∴OP=2,
∵ P在y轴正半轴上,
∴P(0,2),
当△PAO∽△ACD时,
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20111021/201110210949466091269.gif)
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20111021/201110210949466251094.gif)
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20111021/20111021094946640923.gif)
P在y轴正半轴上,
∴P(0,
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20111021/20111021094946656923.gif)
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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