Question

如图，一张边长为20cm正方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体，设长方体的容积为Vcm³，请回答下列问题：
（1）若用含有x的代数式表示V，则V=

x（20-2x）²

．
（2）根据（1）中结果，填写下表：

x（cm）	1	2	3	4	5	6	7
V（cm3）	324	512			500	384	252

（3）观察（2）中表格，容积V的值是否随x值的增大而增大？此时当x取什么整数值时，容积V的值最大？
（4）课后小英同学继续对这个问题作了以下探究：
当x=3.2cm时，V=591.872cm³；当x=3.3cm时，V=592.548cm³；
当x=3.4cm时，V=592.416cm³；当x=3.5cm时，V=591.5cm³，
小英同学发现x的取值一定介于3.3cm～3.4cm之间，估计x的取值还能更精确些，小英再计算x=3.3cm，3.33cm，3.333cm，3.3333cm…时，发现容积还在逐渐增大．现请你也观察（4）中数据变化，能否推测x可以取到哪一个定值，容积V的值最大？（直接写出即可）

Answer 1

分析：（1）表示出底面正方形的边长，然后根据体积公式解答；
（2）根据（1）中得出的关系式，代入数据x=3、4进行计算即可得到对应的V的值；
（3）根据表格数据的变化规律即可得解；
（4）根据小英取的x的值的特点即可得解．

解答：解：（1）根据题意，无盖的长方体的底面正方形的边长为20-2x，高为x，
∴V=x（20-2x）²；

（2）在V=x（20-2x）²中，
当x=3时，V=3×（20-2×3）²=3×196=588，
当x=4时，V=4×（20-2×4）²=4×144=576，

（3）观察上表，可以发现容积V的值不是随着x的值的增大而增大的，
从表中可知，当x取整数3时，容积V最大；

（4）根据小英的x的取值，x无限接近3

1

3

，
∴当x=3

1

3

时，容积V的值最大，最大值约为592.593．

点评：本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的最值问题，准确表示出底面正方形的边长是求容积的关键，也是求解本题的突破口，另外对数据的敏感发现也很重要．