题目内容

反比例函数 $数学公式$ 的图象经过点A（3，4）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点P（与原点O不重合），使AO=AP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由．

解：（1）∵反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点A（3，4），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得：k=12，
∴反比例函数解析式为 $\text{[math]}$ ；

（2）存在．
若点P在x轴上，设点P的坐标为（x，0），其中x≠0．
由题意可得：OA= $\text{[math]}$ ，AP= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =5，
解得：x₁=0（舍去），x₂=6，
∴点P的坐标为（6，0）；
若点P在y轴上，设点P的坐标为（0，y），其中y≠0，
同理可得： $\text{[math]}$ =5，
解得：y₁=0（舍去），y₂=8，
∴点P的坐标为（0，8）；
综上：在坐标轴上存在点P（与原点O不重合），使AO=AP，点P的坐标为（6，0）或（0，8）．
分析：（1）由反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点A（3，4），利用待定系数法即可求得反比例函数解析式；
（2）分别从若点P在x轴上，设点P的坐标为（x，0），其中x≠0与若点P在y轴上，设点P的坐标为（0，y），其中y≠0去分析，利用两点距离公式，即可得方程，继而可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、两点间的距离公式以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．