题目内容
【题目】如图（1），抛物线y=﹣ 
x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：
由已知有：﹣ 
（﹣2）2+（﹣2）+c=0，
∴c=3，抛物线的解析式是：y=﹣ x2+x+3
（2）
解：方法一：
①令D（x，y），（x＞0，y＞0），
则E（x，0），M（ 
，0），由（1）知C（0，3），
连接MC、MD，
∵DE、CD与⊙O相切，
∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，
∴∠CMD=90°，
∴△COM∽△MED，
∴ 
= 
，
∴ 
= 
，
又∵D点在抛物线上，满足解析式y=﹣ x2+x+3，
∴x= 
（1± 
），
又∵x＞0，
∴x= （1+ ），
∴y= 
（3+ ），则D点的坐标是：（ （1+ ， （3+ ））．
②假设存在满足条件的点G（a，b）．
若构成的四边形是ACGF，（下图1）则G与C关于直线x=2对称，
∴G点的坐标是：（4，3）；
若构成的四边形是ACFG，（下图2）则由平行四边形的性质有b=﹣3，
又∵﹣ a2+a+3=﹣3，
∴a=2±2 
，
此时G点的坐标是：（2±2 ，﹣3）
方法二：
①连接CM，DM，
∵D为抛物线：y=﹣ x2+x+3上的一点，
∴设D（t，﹣ t2+t+3），
∴E（t，0），
∵M为OE中点，
∴M（ 
，0），
∵C（0，3），CD与⊙M相切，
∴∠MDC=∠EDM，∠OCM=∠MCD，
∵DE⊥x轴，
∴∠OCD+∠CDE=180°
∴∠MCD+∠MDC=90°
∴CD⊥DM，
∴KCM×KDM=﹣1，
∴ 
=﹣1，∴ 
，
∴D（ 
， 
）．
②∵F是x轴上的动点，∴设F（t，0），
∵A（﹣2，0），C（0，3），
∴ 
，∴ 
，
同理： 
或 
，
∴﹣ （t+2）2+t+2+3=3，∴ 
，
∴﹣ （﹣t﹣2）2﹣t﹣2+3=3，∴ 
，
∴﹣ （t﹣2）2+t﹣2+3=﹣3，t﹣2=2±2 ，
综上所述，满足题意的点G1（2﹣2 ，﹣3），G2（2+2 ，﹣3）
【解析】（1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的值，则抛物线的解析式即可求解；（2）①连接MC、MD，证明△COM∽△MED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；②分四边形是ACGF和四边形是ACFG两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．
