Question

已知关于x的二次函数y=x²+2x+1-m²（m为常数且m＜0）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴两个交点横坐标为x₁，x₂且有x₁²-x₂²=2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，将二次函数转化为方程x²+2x+1-m²=0求根的问题，根据方程根的判别式来证明；
（2）由题意抛物线与x轴两个交点横坐标为x₁，x₂，即方程x²+2x+1-m²=0有两根为x₁，x₂，得x₁+x₂=-2，x₁•x₂=1-m²，又有x₁²-x₂²=2，从而求出m的值．

解答：解：（1）证明：当y=0时得方程x²+2x+1-m²=0，
△=4-4×1×（1-m²）=4-4+4m²=4m²，（2分）
∵m＜0，
∴4m²＞0，
即△＞0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点（3分）；

（2）解：由题意，x₁、x₂是方程x²+2x+1-m²=0的两根x₁+x₂=-2，
而x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）=2，
∴-2（x₁-x₂）=x₁-x₂=-1（6分），
由此得到x₁＜x₂，而（x+1）²=m²
因此x=m-1或-m-1，
∴m＜0，
∴m-1＜-m-1，
∴x₁=m-1，x₂=-m-1，
∴m-1-（-m-1）=2m=-1，
∴m=-

1

2

（8分）．

点评：此题主要考查一元二次方程与函数的关系，利用方程根与系数的关系，来求解m值，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．