Question

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知OA、OC的长，可得A、C的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）设出点P的横坐标，表示出CP的长，由于PE∥AB，可利用相似三角形△CPE∽△CBA，求出△APE的面积表达式，进而可将面积问题转换为二次函数的最值问题，根据函数的性质即可得到△APE的最大面积及对应的P点坐标．
（3）由于△AGC的面积无法直接求出，可用割补法求解，过G作GH⊥x轴于H，设出G点坐标，表示出△HGC、梯形AOHG的面积，它们的面积和减去△AOC的面积即可得到△AGC的面积表达式，然后将（2）题所得△APE的面积最大值代入上式中，联立抛物线的解析式即可得到点G的坐标．

解答：解：（1）如图，
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），
∴c=6．（1分）
∵抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0），
∴

0=9a-3b+6 0=36a+6b+6

，（1分）
解之得

a=- 1 3 b=1

，（1分）
故此抛物线的解析式为：y=-

1

3

x²+x+6．（1分）

（2）设点P的坐标为（m，0），
则PC=6-m，S_△ABC=

1

2

BC•AO=

1

2

×9×6=27；（1分）
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CAB；（1分）
∴

S△CEP

S△CAB

=(

PC

BC

)2，
即

S△CEP

27

=（

6-m

9

）²，
∴S_△CEP=

1

3

（6-m）²，（1分）
∵S_△APC=

1

2

PC•AO=

1

2

（6-m）×6=3（6-m），
∴S_△APE=S_△APC-S_△CEP=3（6-m）-

1

3

（6-m）²=-

1

3

（m-

3

2

）²+

27

4

；
当m=

3

2

时，S_△APE有最大面积为

27

4

；
此时，点P的坐标为（

3

2

，0）．（1分）

（3）如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G（a，b），（1分）
连接AG、GC，
∵S_梯形AOHG=

1

2

a（b+6），
S_△CHG=

1

2

（6-a）b，
∴S_{四边形AOCG}=

1

2

a（b+6）+

1

2

（6-a）b=3（a+b）．（1分）
∵S_△AGC=S_{四边形AOCG}-S_△AOC，
∴

27

4

=3（a+b）-18，（1分）
∵点G（a，b）在抛物线y=-

1

3

x²+x+6的图象上，
∴b=-

1

3

a²+a+6，
∴

27

4

=3（a-

1

3

a²+a+6）-18，
化简，得4a²-24a+27=0，
解之得a₁=

3

2

，a₂=

9

2

；
故点G的坐标为（

3

2

，

27

4

）或（

9

2

，

15

4

）．（1分）

点评：此题涉及到二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识，注意面积问题与二次函数最值问题之间的联系．