题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O是AB边上的一点,以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.
(1)若AC=5,BC=13,求⊙O的半径;
(2)过点E作弦EF⊥AB于M,连接AF,若∠F=2∠B,求证:四边形ACEF是菱形.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)连接OE,设圆的半径为r,在之间三角形ABC中,利用勾股定理求出AB的长,根据BC与圆相切,得到OE垂直于BC,进而得到一对直角相等,再由一对公共角,利用两角相等的三角形相似得到三角形BOE与三角形ABC相似,由相似得比例求出r的值即可;
试题解析:(1)解:连接OE,设圆O半径为人,
在Rt△ABC中,BC=13,AC=5,
根据勾股定理得:AB=12,
∵BC与圆O相切,
∴OE⊥BC,
∴∠OEB=∠BAC=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BOE∽△BCA,
∴,即,
解得:r=;
(2)∵,∠F=2∠B,
∴∠AOE=2∠F=4∠B,
∵∠AOE=∠OEB+∠B,
∴∠B=30°,∠F=60°,
∵EF⊥AD,
∴∠EMB=∠CAB=90°,
∴∠MEB=∠F=60°,CA∥EF,
∴CB∥AF,
∴四边形ACEF为平行四边形,
∵∠CAB=90°,OA为半径,
∴CA为圆O的切线,
∵BC为圆O的切线,
∴CA=CE,
∴平行四边形ACEF为菱形.
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