题目内容

【题目】如图,AB为⊙O的直径,点DE为⊙O上的两个点,延长ADC,使∠CBD=BED.

1)求证:BC是⊙O的切线;

2)当点E为弧AD的中点且∠BED=30°时,⊙O半径为2,求DF的长度.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD=90°.得出∠ABC=90°,即可得出结论;

(2) 在RtΔBDF中,利用三角函数即可求出DF的长度.

解:(1)证明:∵AB为⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,∴∠A+DBA=90°,

∵ 弧BD=弧BD,∴∠A=E,

∵∠CBD=E,∴∠CBD=A

∴∠CBD +DBA=90°,∴ABBC

BC是⊙O的切线.

(2)解:∵∠BED=30°,

∴∠A=E=CBD=30°,

∴∠DBA=60°,

∵点E为弧AD的中点,

∴∠EBD=EBA=30°,

∵⊙O半径为2,

AB=4,BD=2,AD= .

在RtΔBDF中,∠DBF=90°,

DF.

“点睛”本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、三角函数等知识,熟练掌握切线的判定,由三角函数求出直径是解决问题(2)的关键.

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