对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C.给出如下定义:若⊙C上存在两个点A.B.使得∠APB=60°.则称P为⊙C 的关联点. 已知点D(.).E.F(.0) (1)当⊙O的半径为1时. ①在点D.E.F中.⊙O的关联点是 , ②过点F作直线交轴正半轴于点G.使∠GFO=30°.若直线上的点P(.)是⊙O的关联点.求的取值范围, (2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点.求这个圆的半径的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。

已知点D（，），E（0，-2），F（，0）

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；

②过点F作直线交轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（，）是⊙O的关联点，求的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围。

解析：【解析】(1) ①；

② 由题意可知，若点要刚好是圆的关联点；

需要点到圆的两条切线和之间所夹

的角度为；

由图可知，则，

连接，则；

∴若点为圆的关联点；则需点到圆心的距离满足；

由上述证明可知，考虑临界位置的点，如图2；

点到原点的距离；

过作轴的垂线，垂足为；

；

∴；

∴；

∴；

∴；

易得点与点重合，过作轴于点；

易得；

∴；

从而若点为圆的关联点，则点必在线段上；

∴；

(2) 若线段上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，

则这个圆的圆心应在线段的中点；

考虑临界情况，如图3；

即恰好点为圆的关联时，则；

∴此时；

故若线段上的所有点都是某个圆的关联点，

这个圆的半径的取值范围为.

【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开

头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于倍半

径的点.

了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.

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