题目内容
(2007•济南)已知:如图,O为平面直角坐标系的原点,半径为1的⊙B经过点O,且与x,y轴分交于点A,C,点A的坐标为(-,0),AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D.(1)求OC的长和∠CAO的度数;
(2)求过D点的反比例函数的表达式.
【答案】分析:(1)在直角三角形ACO中,根据已知条件可以求得OA,AC的长,再根据勾股定理求得OC的长,根据锐角三角函数的概念求得∠CAO的度数;
(2)要求反比例函数的表达式,需要求得点D的坐标.作DE⊥x轴于点E,根据对顶角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°.所以只需再求得OD的长,根据三角形的外角的性质可以求得∠ADO=30°.则OD=OA.从而求得OE,DE的长,再根据点D的坐标求得反比例函数的表达式.
解答:解:(1)∵∠AOC=90°,
∴AC是⊙B的直径.
∴AC=2.
又∵点A的坐标为(-,0),
∴OA=.
∴.
∴sin∠CAO=.
∴∠CAO=30°;
(2)如图,连接OB,过点D作DE⊥x轴于点E,
∵OD为⊙B的切线,
∴OB⊥OD.
∴∠BOD=90°.
∵AB=OB,
∴∠AOB=∠OAB=30°.
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°.
在△AOD中,∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD.
∴OD=OA=.
在Rt△DOE中,∠DOE=180°-120°=60°,
∴OE=OD•cos60°=OD=,ED=OD•sin60°=.
∴点D的坐标为.
设过D点的反比例函数的表达式为,
∴.
∴.
点评:此题主要是运用了30度的直角三角形的性质、切线的性质和等腰三角形的判定和性质,综合性较强,同学们要重点掌握.
(2)要求反比例函数的表达式,需要求得点D的坐标.作DE⊥x轴于点E,根据对顶角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°.所以只需再求得OD的长,根据三角形的外角的性质可以求得∠ADO=30°.则OD=OA.从而求得OE,DE的长,再根据点D的坐标求得反比例函数的表达式.
解答:解:(1)∵∠AOC=90°,
∴AC是⊙B的直径.
∴AC=2.
又∵点A的坐标为(-,0),
∴OA=.
∴.
∴sin∠CAO=.
∴∠CAO=30°;
(2)如图,连接OB,过点D作DE⊥x轴于点E,
∵OD为⊙B的切线,
∴OB⊥OD.
∴∠BOD=90°.
∵AB=OB,
∴∠AOB=∠OAB=30°.
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°.
在△AOD中,∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD.
∴OD=OA=.
在Rt△DOE中,∠DOE=180°-120°=60°,
∴OE=OD•cos60°=OD=,ED=OD•sin60°=.
∴点D的坐标为.
设过D点的反比例函数的表达式为,
∴.
∴.
点评:此题主要是运用了30度的直角三角形的性质、切线的性质和等腰三角形的判定和性质,综合性较强,同学们要重点掌握.
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