Question

如图，已知AB为⊙O的弦，以OB为直径作⊙O₁交AB于D，⊙O的弦AE切⊙O₁于点C．
求证：（1）BC²=BE•BD；（2）AC•CE=BE•BD．

Answer 1

分析：（1）过点B作⊙O₁的切线MN，连接CD，利用弦切角定理可得∠E=∠MBA，∠BCD=∠MBA，等量代换∠E=∠BCD，又AE是切线，再利用弦切角定理可得∠BDC=∠BCE，从而易证△BCE∽△BDC，那么可得比例线段，即可证；
（2）延长BC与⊙O相交于点F，连接OC，由于OB是小圆的直径，那么∠BCO=90°，即OC⊥BF，利用垂径定理，可得BC=CF，再结合相交弦定理可证．

解答：证明：（1）过点B作⊙O₁的切线MN，连接CD，（1分）
∵OB是⊙O的半径，
∴MN切⊙O于点B，
∵∠E=∠MBA，∠BCD=∠MBA，
∴∠E=∠BCD，
∵AE切⊙O₁于点C，
∴∠BDC=∠BCE，
∴△BCE∽△BDC，（3分）
∴

BC

BD

=

BE

CB

，
∴BC²=BE•BD；（4分）

（2）延长BC与⊙O相交于点F，连接OC，（1分）
∵OB是⊙O₁的直径，
∴OC⊥BC，
∴BC=CF，（2分）
∵AC•CE=BC•CF，
∴AC•CE=BC²，
∴AC•CE=BE•BD．（3分）

点评：关键是作两圆的公切线；利用了弦切角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、相交弦定理等知识．