题目内容
（2005•吉林）如图1，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．（1）如图2，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为y1（cm2），求y1（cm2）关于t（秒）的函数关系式；
（2）如图3，动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为y2（cm2），求y2（cm2）关于t（秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】分析：（1）本题的关键是看三角形BPQ中，BQ边上的高的值，分三种情况进行讨论：
①当P在BA上运动时，过P作PN⊥BC于N，过A作AM⊥BC于M，那么AM的值不难求出，可在相似三角形BPN和BAM中，表示出PN的长．
②当P在AD上运动时，高PN=DC．
③当P在DC上运动时，高PC=BA+AD+DC-t．
然后根据三角形的面积公式即可求出y1，t的函数关系式．
（2）由于四边形APED不是规则的四边形，因此其面积可用梯形ABCD的面积-三角形BPC的面积-三角形CPE的面积来求．关键还是求出三角形BPC和CPE的高，过P分别作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，PH=CF=
CE，而PF的长可用BC-BH来得出，由此可得出关于y2与t的函数关系式．
解答：解：（1）过点A作AM⊥BC于M，如图1，则AM=6，BM=8，
∴AD=MC=2．
过点P作PN⊥BC于N，则△PNB∽△AMB，
∴
．
∴
．
∴
．
①当点P在BA上运动时，
y1=
BQ•NP=
t•
t=
t2；
②当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6，
y1=
BQ•NP=
×10×6=30；
③当点P在DC上运动时，
y1=
BQ•CP=
×10（10+2+6-t）=-5t+90．
（2）过点P作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，如图2，
∵∠BCD=90°，
∴四边形PHCF是矩形，
∴FC=EF=PH=
t，
在Rt△BHP中，BH=
=
=
t，
∴PF=BC-HB=10-
．
∴y2=S梯形ABCD-S△BPC-S△PEC=
（2+10）×6-
×10×
t-
×
t（10-
t）
=
t2-9t+36
当CE=CD时，
t=6，
∴t=5．
∴自变量t的取值范围是0≤t≤5．
点评：本题主要考查了梯形的性质，三角形的相似，图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识点．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
①当P在BA上运动时，过P作PN⊥BC于N，过A作AM⊥BC于M，那么AM的值不难求出，可在相似三角形BPN和BAM中，表示出PN的长．
②当P在AD上运动时，高PN=DC．
③当P在DC上运动时，高PC=BA+AD+DC-t．
然后根据三角形的面积公式即可求出y1，t的函数关系式．
（2）由于四边形APED不是规则的四边形，因此其面积可用梯形ABCD的面积-三角形BPC的面积-三角形CPE的面积来求．关键还是求出三角形BPC和CPE的高，过P分别作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，PH=CF=
CE，而PF的长可用BC-BH来得出，由此可得出关于y2与t的函数关系式．解答：解：（1）过点A作AM⊥BC于M，如图1，则AM=6，BM=8，
∴AD=MC=2．
过点P作PN⊥BC于N，则△PNB∽△AMB，
∴
．∴
．∴
．①当点P在BA上运动时，
y1=
BQ•NP=t•t=t2；②当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6，
y1=
BQ•NP=×10×6=30；③当点P在DC上运动时，
y1=
BQ•CP=×10（10+2+6-t）=-5t+90．（2）过点P作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，如图2，
∵∠BCD=90°，
∴四边形PHCF是矩形，
∴FC=EF=PH=
t，在Rt△BHP中，BH=
==t，∴PF=BC-HB=10-
．∴y2=S梯形ABCD-S△BPC-S△PEC=
（2+10）×6-×10×t-×t（10-t）=
t2-9t+36当CE=CD时，
t=6，∴t=5．
∴自变量t的取值范围是0≤t≤5．
点评：本题主要考查了梯形的性质，三角形的相似，图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识点．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
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