Question

如图，已知△ABC，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
（1）求证：AD=BD=BC．
（2）若AB=1，求AD的长．（结果保留根号）
（3）求cos36°的值．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）由△ABC，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得各角的度数，继而证得AD=BD=BC．
（2）易证得△CBD∽△CAB，然后设AD=x，则BC=x，CD=1-x，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长．
（3）首先作DE⊥AB，垂足为E，可得AE=

1

2

AB，在Rt△ADE中，cos∠A=cos36°=

AE

AD

，即可求得答案．

解答：（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC；

（2）解：∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴

CB

CA

=

CD

CB

，
∴CB²=CA•CD，
设AD=x，则BC=x，CD=1-x，
∴x²=1-x，
解得：x₁=

5 -1

2

，x₂=

- 5 -1

2

（不合题意，舍去），
∴AD=

5 -1

2

；

（3）解：作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

；
在Rt△ADE中，cos∠A=cos36°=

AE

AD

=

1 2

5 -1 2

=

5 +1

4

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．