题目内容

如图,已知抛物线与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.
(1)直接写出A、D、C三点的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MD+MC的值最小,并求出点M的坐标;
(3)设点C关于抛物线对称的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)A(4,0) 、D(-2,0)、C(0,-3);(2)连接AC,则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求,M (1,);(3)存在,(-2,0)或(6,6).

试题分析:(1)在中令,解得
∴A(4,0) 、D(-2,0).
中令,得,∴C(0,-3).
(2)连接AC,根据轴对称的性质,AC与抛物线的对称轴交点M即为所求,从而应用待定系数法求出AC的解析式,再求出抛物线的对称轴,即可求得点M的坐标.
(3)分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种情况讨论即可.
试题解析:(1)A(4,0) 、D(-2,0)、C(0,-3)
(2)如图,连接AC,则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.
设直线AC的解析式为,则,解得.
∴直线AC的解析式为.
的对称轴是直线
把x=1代入
`∴M(1,).

(3)存在,分两种情况:
①如图,当BC为梯形的底边时,点P与D重合时,四边形ADCB是梯形,此时点P为(-2,0).

②如图,当BC为梯形的腰时,过点C作CP//AB,与抛物线交于点P,
∵点C,B关于抛物线对称,∴B(2,-3)
设直线AB的解析式为,则,解得.
∴直线AB的解析式为.
∵CP//AB,∴可设直线CP的解析式为.
∵点C在直线CP上,∴.
∴直线CP的解析式为.
联立,解得
∴P(6,6).

综上所述,在抛物线上存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形,点P的坐标为(-2,0)或(6,6).
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