Question

【题目】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．

（1）求证：△OCP∽△PDA；

（2）若tan∠PAO＝，求边AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB＝10．

【解析】

（1）只需要证明两对对应角分别相等即可证明相似（2）根据题①可知CP＝4，设BO＝x，则CO＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），即可解答

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．

由折叠，可知：∠APO＝∠B＝90°，

∴∠APD+∠CPO＝90°．

∵∠APD+∠DAP＝90°，

∴∠DAP＝∠CPO，

∴△OCP∽△PDA；

（2）解：由折叠，可知：∠APO＝∠B＝90°，AP＝AB，PO＝BO，tan∠PAO＝ ＝ ＝ ．

∵△OCP∽△PDA，

∴

∵AD＝8，

∴CP＝4．

设BO＝x，则CO＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），

∴AB＝2x＝CD＝PD+CP＝2（8﹣x）+4，

解得：x＝5，

∴AB＝10．