Question

（2012•汕头模拟）如图，直角梯形OABC的一顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=

1

4

OA=

2

，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．

（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求y的值．

Answer 1

分析：（1）过点B作BF⊥OA于F，由∠OAB=45°，AB=3，即可求得BF与AF的值，又由BD=

1

4

OA=

2

，即可求得CD的长，则可求得D点的坐标；
（2）首先连接OD，由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，可得∠DOE=∠COD=45°，又由∠1=∠2，可判定△ODE∽△AEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得到y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3种情况，分别从这三种情况去分析，利用相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及矩形的性质求解，即可求得答案．

解答：解：（1）如图（1），过点B作BM⊥OA于M，
∵∠OAB=45°，
∴AM=BM=AB•sin∠OAB=3×

2

2

=

3 2

2

，
∵BD=

1

4

OA=

2

，
∴OA=4

2

，
∴CD=BC-BD=OM-BD=4

2

-

3

2

2

-

2

=

3

2

2

，
∴D点的坐标是(

3

2

2

，

3

2

2

)．（2分）

（2）连接OD，如图（2），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，
则∠DOE=∠COD=45°，
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴OD=AB=3，
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，
又∵∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴

OE

AF

=

OD

AE

，
即：

x

y

=

3

4 2 -x

∴y与x的解析式为：y=-

1

3

x²+

4 2

3

x；（6分）

（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3种情况．
①当EF=AE时，如图（3），
∴∠EFA=∠DEF=45°，
∴DE∥AB，
又∵DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形，
∴AE=DB=

2

，
∴AF=

2

AE=2，
∴y=2；
②当AF=AE时，如图（4），连接OD，
由（2）知△ODE∽△AEF，
则

OD

AE

=

OE

AF

，
即

3

4 2 -x

=

x

y

，
则3y=4

2

x-x²，①，
又OE+AE=4

2

，即x+y=4

2

②，
联立①②解得：y=4

2

-3；
③当EF=AF时，如图（5）．∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
∴∠AEF=45°，
∵∠DEF=45°，
∴∠DEA=90°，
∴四边形COED是矩形，
∴OE=CD=

3

2

2

，
∴AE=4

2

-

3

2

2

=

5

2

2

，
∴AF=AE•sin45°=

5

2

；
∴当△AEF为等腰三角形时，y的值为2或4

2

-3或

5

2

．（12分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意准确作出辅助线．