Question

已知抛物线y＝x2＋(2n－1)x＋n2－1(n为常数)． (1) 当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2) 设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C． ①当BC＝1时，求矩形ABCD的周长； ②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

由已知条件，得n2－1＝0，解这个方程，得n1＝1，n2＝－1．当n＝1时，得y＝x2＋x，此抛物线的顶点不在第四象限；当n＝－1时，得y＝x2－3x，此抛物线的顶点在第四象限．所以抛物线所对应的函数关系式为y＝x2－3x．

(2)

解：由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得xl＝0，x2＝3，所以抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，所以它的顶点为，对称轴为直线x＝，其大致位置如图所示． 　　①因为BC＝1，由抛物线和矩形的对称性易知OB＝×(3－1)＝1，所以B(1，0)，所以点A的横坐标x＝1，又因为点A在抛物线y＝x2－3x上，所以点A的纵坐标y＝12－3×1＝－2，所以AB＝｜y｜＝｜－2｜＝2，所以矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6． 　　②因为点A在抛物线y＝x2－3x上，故可设A点的坐标为(x，x2－3x)，所以B点的坐标为(x，0)(0＜x＜)，所以BC＝3－2x，A在x轴下方，所以x2－3x＜0，所以AB＝｜x2－3x｜＝3x－x2，所以矩形ABCD的周长P＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2(x－)2＋．因为a＝－2＜0，所以当x＝时，矩形ABCD的周长P的最大值为． 　　解题指导：(1)抛物线经过原点，则可将点(0，0)代人函数表达式；再根据顶点在第四象限则可确定函数的表达式． 　　(2)将矩形ABCD的周长表示出来，再根据其特点求出最大值．