Question

如图，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点P₁，P₂，…P₁₀，记M_i=AP_i²+P_iB•P_iC（i=1，2，…，10），那么，M₁+M₂+…+M₁₀=________．

Answer 1

40
分析：作AD⊥BC，则存在AB²=AD²+BD²，根据AP_i²=AD²+DP_i²化简得：（BD+DP_i）（BD-DP_i）经计算得M=4，则可计算M₁+M₂+…+M₁₀．
解答：解：如图，作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD和Rt△AP_iD中，AB²=AD²+BD²，AP_i²=AD²+P_iD²，
所以AB²-AP_i²=AD²+BD²-（AD²+P_iD²）
=BD²-P_iD²
=（BD+P_iD）（BD-P_iD）
=P_iC•P_iB
所以AP_i²+P_iC•P_iB=AB²=4，所以M_i=4．
所以M₁+M₂+…+M₁₀=40．
故答案为40．
点评：本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中根据勾股定理化简AP_i²=AD²+DP_i²是解题的关键．