题目内容

【题目】已知,如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线,BE平分DBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.

(1)求证:BCE≌△DCF;

(2)求CF的长;

(3)如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为x轴,AB为y轴建立直角坐标系,问在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的P点坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)见解析;(2)﹣1;(3)所有符合条件的P点坐标为(2﹣,2﹣)、(﹣2+,﹣2+)、(﹣1,﹣1)、().

【解析】

试题分析:(1)利用正方形的性质,由全等三角形的判定定理SAS即可证得BCE≌△DCF;

(2)通过DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=;然后由CF=BF﹣BC=即可求得;

(3)分三种情况分别讨论即可求得.

【解答】(1)证明:如图1,

BCE和DCF中,

∴△BCE≌△DCF(SAS);

(2)证明:如图1,

BE平分DBC,OD是正方形ABCD的对角线,

∴∠EBC=DBC=22.5°,

由(1)知BCE≌△DCF,

∴∠EBC=FDC=22.5°(全等三角形的对应角相等);

∴∠BGD=90°(三角形内角和定理),

∴∠BGF=90°;

DBG和FBG中,

∴△DBG≌△FBG(ASA),

BD=BF,DG=FG(全等三角形的对应边相等),

BD==

BF=

CF=BF﹣BC=﹣1;

(3)解:如图2,CF=﹣1,BH=CF

BH=﹣1,

①当BH=BP时,则BP=﹣1,

∵∠PBC=45°,

设P(x,x),

2x2=(﹣1)2

解得x=2﹣或﹣2+

P(2﹣,2﹣)或(﹣2+,﹣2+);

②当BH=HP时,则HP=PB=﹣1,

∵∠ABD=45°,

∴△PBH是等腰直角三角形,

P(﹣1,﹣1);

③当PH=PB时,∵∠ABD=45°,

∴△PBH是等腰直角三角形,

P(),

综上,在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形,所有符合条件的P点坐标为(2﹣,2﹣)、(﹣2+,﹣2+)、(﹣1,﹣1)、().

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