题目内容
如图，△ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于点
D．已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C．（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=4，求CD的长．
分析：（1）连接OD，则OD⊥CD；△OBD是等腰三角形．根据等腰三角形两底角相等证明OD∥AC，从而确定AC与CD的位置关系；
（2）设CD=x，根据相似三角形性质，用含x的式子表示AB、AD．在Rt△ACD中运用勾股定理求解．
（2）设CD=x，根据相似三角形性质，用含x的式子表示AB、AD．在Rt△ACD中运用勾股定理求解．
解答：
解：（1）CD⊥AC．（1分）
连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，（2分）
∵AC=BC，∴∠A=∠B，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，∴∠A=∠ODB，（3分）
∴AC∥OD，
∴∠ACD=∠CDO=90°，
∴CD⊥AC．（4分）
（2）∵△ACB∽△CDB，
∴∠A=∠BCD，
=
．
∵∠A=∠B，∴∠B=∠BCD，
∴CD=BD，设CD=BD=x，（5分）
则AB=
=
，
∴AD=AB-BD=
-x，（6分）
在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2
∴(
-x)2=16+x2，（7分）
∴x=
，
∴CD=
．（8分）
解：（1）CD⊥AC．（1分）连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，（2分）
∵AC=BC，∴∠A=∠B，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，∴∠A=∠ODB，（3分）
∴AC∥OD，
∴∠ACD=∠CDO=90°，
∴CD⊥AC．（4分）
（2）∵△ACB∽△CDB，
∴∠A=∠BCD，
| BC |
| BD |
| AB |
| BC |
∵∠A=∠B，∴∠B=∠BCD，
∴CD=BD，设CD=BD=x，（5分）
则AB=
| BC2 |
| BD |
| 16 |
| x |
∴AD=AB-BD=
| 16 |
| x |
在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2
∴(
| 16 |
| x |
∴x=
4
| ||
| 3 |
∴CD=
4
| ||
| 3 |
点评：此题考查切线的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，综合性强，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
26、已知：如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，CE是∠DCB的角平分线，且CE∥AB．
27、已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°，D、E两点在直线BC上，连接AD、AE．
27、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M
14、如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（ ）
已知，如图，△ABC中，点D在BC上，且∠1=∠C，∠2=2∠3，∠BAC=70°．