Question

课堂上对关于x的方程的解进行合作探究时，甲同学发现，当m=0时，方程的两根都为1，当m＞0时，方程有两个不相等的实数根；乙同学发现，无论m取什么正实数时方程的两根都不可能相等；丙同学发现无论m取什么正实数时方程的两根这和均为定值．
（1）请找一个m的值代入方程使方程的两个根为互不相等的整数，并求这两个根；
（2）请选择乙或丙同学的发现加以判断，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于方程为-3（x-1）²+m=0，可以变为 (x-1)2=

m

3

，根据这个形式和方程根的要求即可求解；
（2）乙同学的结论正确．当m＞0，利用根的判别式就可以得出结论，丙同学的结论也正确，当m＞0，首先求出方程的根，然后求和即可证明是否正确．

解答：解：（1）-3（x-1）2=-m，
即(x-1)2=

m

3

，
如取m=27，

m

3

=9，
代入解得x₁=4，x₂=-2．
（答案不唯一，m为任意完全平方数的3倍）；
（2）∵-3（x-1）²+m=0
∴-3x²+6x-3+m=0
∴△=36-4×（-3）×（-3+m）=12m
∵m＞0，
∴12m＞0，
∴△＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴无论m取什么正实数时方程的两根都不可能相等
∴无论m取什么正实数时方程的两根都可表示为：x1=1+

m 3

，x2=1-

m 3

∴x₁+x₂=2，
∴无论m取什么正实数时方程的两根之和均为定值2．

点评：本题是一道有关一元二次方程的试题，主要考查了根的判别式的运用，根与系数的关系，直接开平方法和公式法的运用．