题目内容
【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E是AD边上一点,BE=BC.
(1)求证:EC平分∠BED.
(2)过点C作CF⊥BE,垂足为点F,连接FD,与EC交于点O,求FD·EC的值.
【答案】
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DEC=∠BCE,
∵BE=BC,
∴∠BEC=∠BCE,
∴∠DEC=∠BEC,
即EC平分∠BED.
(2)如图所示:
∵CF⊥EB,CD⊥ED,EC平分∠BED,
∴DE=EF,
在Rt△ABE中,∵AB=3,BE=BC=5,
∴AE= =4,
∴DE=1,
在Rt△ECD和Rt△ECF中,
,
∴Rt△ECD≌Rt△ECF,
∴ED=EF=1,∵CF=CD=3,
∴EC垂直平分线段DF,
∴S四边形EFCD=2S△EDC= ECDF,
∴ ECDF=2× ×3×1=3,
∴ECDF=6.
【解析】(1)根据已知BE=BC,可证出∠BEC=∠BCE,再根据矩形的性质及平行线的性质得出∠DEC=∠BCE,就可得到∠DEC=∠BEC,即可征得结论。
(2)根据角平分线的性质证明DE=EF,利用直角三角形全等的判定方法证明Rt△ECD≌Rt△ECF,得出CF=CD,再利用勾股定理求出AE的长,就可求出DE的长,再求出△ECD的面积,然后根据S四边形EFCD=2S△EDC , 即可求出结果。
【考点精析】认真审题,首先需要了解角的平分线(从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线),还要掌握角平分线的性质定理(定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 定理2:一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)的相关知识才是答题的关键.