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精英家教网已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:
(1)4a+2b+c>0
(2)方程ax2+bx+c=0两根之和小于零
(3)y随x的增大而增大
(4)4a-2b+c<0
(5)b2-4ac<0
(6)一次函数y=x+bc的图象一定不过第二象限.其中正确的个数是(  )
A、4个B、3个C、2个D、1个
分析:(1)由函数图象可知x=2对应的抛物线图象上的点在x轴上方,故把x=2代入抛物线解析式得到的函数值大于0,本选项正确;
(2)由根与系数的关系表示出两根之和-
b
a
,根据抛物线的对称轴在y轴右边,可得-
b
2a
>0,从而得到两根之和也大于0,本选项错误;
(3)根据开口方向,分对称轴在y轴的左侧和右侧两种情况考虑二次函数的增减性,故本选项错误;
(4)根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的左交点到对称轴的距离小于2,可知x=-2时对应的抛物线上的点在x轴上方,故把x=-2代入抛物线解析式表示出函数值大于0,本选项错误;
(5)根据抛物线与x轴有两个交点,可知y=0时对应的方程有两个不相等的实数根,即根的判别式大于0,本选项错误;
(6)由a的符号及对称轴在y轴的右侧判断出b的符号,再由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴判断出c的符号,进而得出bc的符号,根据一次函数的图象与性质可得出y=x+bc不经过第四象限,本选项错误.
解答:解:(1)由函数图象可知x=2时,y>0,
即4a+2b+c>0,本选项正确;
(2)设方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1,x2
根据图象b2-4ac>0,则有x1+x2=-
b
a

又对称轴在y轴右侧可得-
b
2a
>0,则-
b
a
>0,
本选项错误;
(3)因为抛物线开口向上,在对称轴左侧,y随x的增大而减小;在对称轴右侧,y随x的增大而增大,
本选项错误;
(4)根据抛物线关于对称轴对称,可得x=-2对应的函数值y>0,
则4a-2b+c>0,本选项错误;
(5)由抛物线与x轴有两个交点,可得方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,
则有b2-4ac>0,本选项错误;
(6)由y=x+bc中,k=1,bc为常数项,
又a>0,-
b
2a
>0,∴b<0,又c<0,
∴bc>0,
则一次函数y=x+bc经过第一、二、三象限,不经过第四象限,本选项错误.
综上,正确的个数有1个.
故选D
点评:此题考查了二次函数的图象与系数的关系,图象的增减性以及二次函数与方程之间的关系,利用了数形结合的思想,此类题涉及的知识面比较广,能正确观察图象是解本题的关键.
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