题目内容

【题目】已知在矩形ABCD中,ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一定点(其中EPPD)

(1)如图1,若点F在CD边上(不与D重合),将DPF绕点P逆时针旋转90°后,角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.

①求证:PG=PF;

②探究:DF、DG、DP之间有怎样的数量关系,并证明你的结论.

(2)拓展:如图2,若点F在CD的延长线上(不与D重合),过点P作PGPF,交射线DA于点G,你认为(1)中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请写出它们所满足的数量关系式,并说明理由.

【答案】(1)证明见解析;DG+DF=DP;(2)不成立,数量关系式应为:DG﹣DF=DP.

【解析】

试题分析:(1)①若证PG=PF,可证HPG≌△DPF,已知DPH=HPG,由旋转可知GPF=HPD=90°及DE平分ADC得HPD为等腰直角三角形,即DHP=PDF=45°、PD=PH,即可得证;

②由HPD为等腰直角三角形,HPG≌△DPF知HD=DP,HG=DF,根据DG+DF=DG+GH=DH即可得;

(2)过点P作PHPD交射线DA于点H,先证HPD为等腰直角三角形可得PH=PD,HD=DP,再证HPG≌△DPF可得HG=DF,根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP.

试题解析:(1)①∵∠GPF=HPD=90°,ADC=90°,∴∠GPH=FPD,DE平分ADC,∴∠PDF=ADP=45°,∴△HPD为等腰直角三角形,∴∠DHP=PDF=45°,在HPG和DPF中,∵∠PHG=PDF,PH=PD,GPH=FPD∴△HPG≌△DPF(ASA),PG=PF;

②结论:DG+DF=DP,由①知,HPD为等腰直角三角形,HPG≌△DPF,HD=DP,HG=DF,HD=HG+DG=DF+DG,DG+DF=DP;

(2)不成立,数量关系式应为:DG﹣DF=DP,如图,过点P作PHPD交射线DA于点H,PFPG,∴∠GPF=HPD=90°,∴∠GPH=FPD,DE平分ADC,且在矩形ABCD中,ADC=90°,∴∠HDP=EDC=45°,得到HPD为等腰直角三角形,∴∠DHP=EDC=45°,且PH=PD,HD=DP,∴∠GHP=FDP=180°﹣45°=135°,在HPG和DPF中,∵∠GPH=FPD,GHP=FDP,PH=PD,∴△HPG≌△DPF,HG=DF,DH=DG﹣HG=DG﹣DF,DG﹣DF=DP.

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