题目内容
【题目】开学初,小芳和小敏到学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本;小敏用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本.
(1)求每支钢笔和每本笔记本各多少元?
(2)为了奖励班上表现突出的学生,班主任张老师拿出200元钱交给班长,班长到学校商店购买上述价格的钢笔和笔记本两种奖品,计划购买钢笔和笔记本的数量共是45个,要求购买笔记本的数量不小于钢笔数量的2倍.共有哪几种购买方案?请写出费用最少的方案及最少费用是多少元?
【答案】
(1)解:设钢笔的单价为x元,笔记本的单价为y元.
由题意得: ,
解得: .
答:钢笔的单价为3元,笔记本的单价为5元.
(2)解:设买a支钢笔,则买笔记本(45﹣a)本,
由题意得, ,
解得:20≤a≤24,
∵a为正整数,
∴a=20,21,22,23,24,
∴购买方案有五种,分别是:
①买钢笔20支,笔记本28本;
②买钢笔21支,笔记本27本;
③买钢笔22支,笔记本26本;
④买钢笔23支,笔记本25本;
⑤买钢笔24支,笔记本24本;
设买奖品所需费用为W,则:W=3a+5(48﹣a)=﹣2a+240,
∵k=﹣2<0,W随a的增大而减小,
∴当a取最大值24时,W最小,W最小值=192,
答:购买奖品所需的最少费用为192元.
【解析】把文字翻译成数学符号,构建方程组模型是解此类题的关键;方案型问题就是要构建双边不等式,有几个整数解就有几种方案;最值问题就是构建函数,求自变量的范围,在此范围内利用函数单调性解决最值问题.
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