题目内容
【题目】已知：如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，且BD=BE，连接DE．
（1）求证：DE∥AC；
（2）将图①中的△BDE绕点B顺时针旋转，使得点A、D、E在同一条直线上，如图②，求∠AEC的度数；
（3）在（2）的条件下，如图③，连接CD，过点D作DM⊥BE于点M，在线段BM上取点N，使得∠DNE+∠DCE=180°．求证：EN﹣EC=2MN．
【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）证明见解析
【解析】
（1）欲证明DE∥AC，只要证明∠DEB=∠C即可；
（2）通过“边角边”证明△ABD≌△CBE，然后推出∠CEB=∠ADB=120°，即可解决问题；
（3）通过“角角边”证明△BDN≌△EDC，得到BN=CE，由DB=DE，DM⊥BE，推出BM=EM，即BN+MN=EN﹣MN，推出CE+MN=EN﹣MN，即EN﹣EC=2MN.
解：（1）证明：如图①中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BED=60°，
∴∠C=∠BED，
∴DE∥AC；
（2）如图2中，
∵△ABC、△BDE都是等边三角形，
∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=∠BDE=∠BED=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠CEB=∠ADB，
∵∠ADB=180°﹣∠BDE=180°﹣60°=120°，
∴∠CEB=120°，
∴∠AEC=∠CEB﹣∠BED=120°﹣60°=60°；
（3）证明：如图3中，
∵∠DNE+∠DCE=180°，∠DNE+∠DNB=180°，
∴∠DCE=∠DNB，
由（1）知△BDE是等边三角形，
∴BD=ED，∠DBE=60°，
由（2）知∠AEC=60°，
∴∠DBE=∠AEC，
在△BDN和△EDC中，
，
∴△BDN≌△EDC（AAS），
∴BN=CE，
∵DB=DE，DM⊥BE，
∴BM=EM，即BN+MN=EN﹣MN，
∴CE+MN=EN﹣MN，
∴EN﹣EC=2MN．
