题目内容
【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)当∠ODB=30°时,求证:BC=OD.
【答案】见解析
【解析】(1)由OD⊥AC OD为半径,根据垂径定理,即可得=,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得BD平分∠ABC;
(2)首先由OB=OD,易求得∠AOD的度数,又由OD⊥AC于E,可求得∠A的度数,然后由AB是⊙O的直径,根据圆周角定理,可得∠ACB=90°,继而可证得BC=OD.
证明:(1)∵OD⊥AC OD为半径,
∴=,
∴∠CBD=∠ABD,
∴BD平分∠ABC;
(2)∵OB=OD,
∴∠OBD=∠0DB=30°,
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°,
又∵OD⊥AC于E,
∴∠OEA=90°,
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°,
又∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ACB中,BC=AB,
∵OD=AB,
∴BC=OD.
“点睛”此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
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