Question

如图，已知直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）观察图象，写出不等式ax²+bx+c＞-x+3的解集为

 

；
（3）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先利用交点式得出y=a（x-1）（x-3），进而得出a的值即可；
（2）利用函数图象得出ax²+bx+c＞-x+3的解集即为交点两侧两图象在上面的则对应函数值大，否则就小，进而得出答案；
（3）根据题意分析①若△ABO∽△AP₁D，②若△ABO∽△ADP₂，进而分别得出P点坐标即可．

解答：解：（1）由题意得出：A（3，0），B（0，3），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点，
∴设y=a（x-1）（x-3），（a≠0），
∴a×（-1）×（-3）=3，
∴抛物线解析式为：y=x²-4x+3；

（2）∵A（3，0），B（0，3），
∴利用图象可得出：不等式ax²+bx+c＞-x+3的解集为：x＜0或x＞3；
故答案为：x＜0或x＞3；

（3）由题意得：△ABO为等腰直角三角形，如图所示：
①若△ABO∽△AP₁D，
则

AO

AD

=

OB

DP1

，
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）；
②若△ABO∽△ADP₂，过点P₂作P₂M⊥x轴于点M，AD=4，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴△ADP₂是等腰直角三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P₂M，
∴MO=1，
∴P₂（1，2）．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质和利用函数图象确定函数值大小关系，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．