Question

平面直角坐标系中，已知点O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），点P是反比例函数y=-

1

x

图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则点P的坐标是

（

2

，-

2

2

）或（-

2

，

2

2

）或（

2

2

，-

2

）或（-

2

2

，

2

）

．

Answer 1

分析：由A（0，2）、B（1，0），可求得OA与OB的长，然后分别从当

PQ

BO

=

OQ

OA

，即OQ=2PQ时，△OPQ∽△ABO与当

PQ

AO

=

OQ

OB

，即PQ=2OQ时，△OPQ∽△BAO去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵A（0，2）、B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵PQ⊥x轴，
∴∠PQO=∠AOB=90°，
当

PQ

BO

=

OQ

OA

，即OQ=2PQ时，△OPQ∽△ABO，
设点P（x，-

1

2

x），
∴-

1

2

x=-

1

x

，
解得：x=±

2

，
∴点P的坐标是：（

2

，-

2

2

）或（-

2

，

2

2

）；
当

PQ

AO

=

OQ

OB

，即PQ=2OQ时，△OPQ∽△BAO，
设点P（x，-2x），
∴-2x=-

1

x

，
解得：x=±

2

2

，
∴点P的坐标是：（

2

2

，-

2

）或（-

2

2

，

2

）．
综上可得：点P的坐标是：（

2

，-

2

2

）或（-

2

，

2

2

）或（

2

2

，-

2

）或（-

2

2

，

2

）．
故答案为：（

2

，-

2

2

）或（-

2

，

2

2

）或（

2

2

，-

2

）或（-

2

2

，

2

）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数上点的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．