题目内容

实际情境
王老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，王老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．
已知甲、乙的步行速度都是5km/h，摩托车的速度是45km/h．
方案预设
（1）预设方案1：王老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．图①中折线A-B-C-D、线段AC分别表示王老师、甲在上述过程中，离车站的路程y（km）与王老师所用时间x（h）之间的函数关系．
①学校与车站的距离为______km；
②求出点C的坐标，并说明它的实际意义；
（2）预设方案2：王老师骑摩托车行驶ah后，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，王老师回去接甲并将甲送到车站，王老师骑摩托车一共行驶 $数学公式$ h．图②中折线A-B-C-D、线段AC、线段BE分别表示王老师、甲、乙在上述过程中，离车站的路程y（km）与王老师所用时间x（h）之间的函数关系．求a的值．
优化方案
（3）请设计一种方案，使甲、乙两位学生在出发50min内（不含50min）全部到达车站．
（要求：1．不需用文字写出方案，在图③中画出图象即可；2．写出你所画的图象中y与x的含义；3．不需算出甲、乙两位学生到达车站的具体时间！）

解：（1）预设方案1：
①由函图象，得
学校与车站的距离：15；
②设王老师把乙送到车站后，再经过mh与甲相遇．
（45+5）m=15-5× $\text{[math]}$ ，
解得：m= $\text{[math]}$ ．
∵老师行驶的时间为： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
老师与甲相遇时甲离车站的路程为：15-5× $\text{[math]}$ =12，
∴C（ $\text{[math]}$ ，12）．表示的意义为老师走 $\text{[math]}$ 小时时将乙送往车站并回来与甲相遇时离车站12千米；

（2）预设方案2：设王老师把乙放下后，再经过nh与甲相遇．

（45+5）n=45a-5a．
解得n= $\text{[math]}$ a．
由于王老师骑摩托车一共行驶 $\text{[math]}$ h，可得方程：
15-5（a+ $\text{[math]}$ a）=45×[ $\text{[math]}$ -（a+ $\text{[math]}$ a）]，
解得：a= $\text{[math]}$ ．

（3）本题答案不唯一，以下方法供参考．
图中折线A-B-C-D、线段AC、线段BE分别表示王老师、甲、乙离车站的路程y（km）与王老师所用时间x（h）之间的函数图象．
分析：（1）①由函数图象可以得出学校与车站的距离为15km；
②设王老师把乙送到车站后，再经过mh与甲相遇．关键条件建立方程求出其解就可以得出结论；
（2）设王老师把乙放下后，再经过nh与甲相遇．将n用含a的代数式表示出来，根据相遇时乙离车站的距离=老师从车站返回时行驶的距离建立方程就可以求出结论．
（3）如图，先将甲同学送到B处，再返回接乙同学，这时甲同学步行前往车站，只要满足王老师一共行驶的时间少于50分钟即可．
点评：本题是一道关于行程问题的函数试题，考查根据函数图象建立一元一次方程求解的运用，方案设计的运用，结论开放性试题的运用，解答时理解函数图象的意义是关键．