Question

【题目】如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若反比例函数y= 图象经过P点、Q点，求a的值；
（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使△OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由；

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，

∴P（t，8），Q（10，at），

∵反比例函数y= 图象经过P点、Q点，

∴8t=10at，解得a= ；

（2）

解：∵OQ垂直平分AP，

∴OP=OA，PQ=QA，

∴ =10，解得t=6，

∴Q（10，6a），P（6，8），

∵PQ=QA，

∴（10﹣6）2+（6a﹣8）2=（6a）2，解得a=

（3）

解：如图，

∵Q为AB的中点，

∴Q（10，4），P（t，8）．

当∠OPQ=90°时，OP2+PQ2=OQ2，即t2+82+（10﹣t）2+42=102+42，整理得，t2﹣10t+32=0，

∵△=（﹣10）2﹣4×32=100﹣128=﹣28＜0，

∴此方程无解，即此种情况不存在；

当∠POQ=90°时，OQP2+PQ2=OP2，即102+42+（10﹣t）2+42=t2+82，整理得，﹣20t=﹣168，解得t= ，

∵AQ=4，

∴at=4，即 a=4，解得a= ．

【解析】（1）先用t表示出P、Q两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论；（2）先根据OQ垂直平分AP得出OP=OA，求出t的值，再由PQ=QA即可得出a的值；（3）分∠OPQ=90°与∠POQ=90°两种情况进行分类讨论．