Question

在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时（即

50

3

米/秒），并在离该公路100米处设置了一个监测点A．在如图所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一段．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（参考数据：

3

≈1.7）
（3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？

Answer 1

分析：（1）已知OA=100m，求B、C的坐标就是求OB、OC的长度，可以转化为解直角三角形；
（2）判断是否超速就是求BC的长，然后比较；
（3）求两车在匀速行驶过程中的最近距离可以转化为求函数的最值问题，或转化为利用配方法求最值的问题．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=100，∠BAO=60°，
∴OB=OAtan∠BAO=100

3

米．
Rt△AOC中，
∵∠CAO=45°，
∴OC=OA=100米．
∴B（-100

3

，0），C（100，0）．

（2）∵BC=BO+OC=100

3

+100米，
∴

100 3 +100

15

≈18＞

50

3

米，
∴汽车在这段限速路上超速了．

（3）设大货车行驶了x米，两车的距离为y=

(100-x)2+(100-2x)2

=

5(x-60)2+2000

当x=60米时，y有最小值

2000

=20

5

米．

点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．