Question

在某段限速公路BC上，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/小时，并在另外一条高等级公路l的收费站A处设置了一个监测点．已知两条公路互相垂直，且在测速点A测得A到BC的距离为100米，两条公路的交点O位于A的南偏西32°方向上，点B位于A的南偏西77°方向上，点C位于A的南偏东28°方向上．（注：本题中，两条公路均视为直线．）
（1）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？
（2）若一辆大货车在限速路上由B处向C行驶，一辆小汽车在高等级公路l上由A处沿AO方向行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）判断是否超速就是求BC的长，然后比较；
（2）求两车在匀速行驶过程中的最近距离可以转化为求函数的最值问题，或转化为利用配方法求最值的问题．

解答：解：（1）由题意知∠BAO=77°-32°=45°，∠CAO=32°+28°=60°，
在Rt△AOB中，OB=OA=100米，在Rt△AOC中，OC=

3

OA=100

3

米，
∴BC=（100+100

3

）米，
实际速度v=

(100+100 3 )米

15秒

≈18.2米/秒=65.52千米/小时＞60千米/小时，
∴该汽车在这段限速路上超速．

（2）∵两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，
∴当大货车由B开出x米时，小汽车由A开出了2x米，
两车之间的距离S=

(100-x)2+(100-2x)2

=

5x2-600x+20000

=

5(x-60)2+2000

∴当x=60时，S取得最小值，为20

5

米．

点评：本题考查解直角三角形的应用，属于实际应用类题目，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．