Question

已知，如图，△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AC+AB=2BC，O是BC上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AC切于点D，交BC于点E．
（1）求CD的长；（2）求CE的长；（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，设AB=x，由已知得AC=2BC-AB=8-x，根据勾股定理得x的方程，求出AB和AC，由切线的性质得AD=AB，从而求出CD的长；
（2）连接BD、DE，由切线的性质得∠CDE=∠CBD，∠C=∠C，所以得△CDE∽△CBD，从而求出CE的长；
（3）由（2）求得CE的长，可求得圆的直径BE，则图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积-半圆的面积．

解答：解：（1）在直角三角形ABC中，设AB=x，由已知得AC=2BC-AB=8-x，根据勾股定理得：
x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
即AB=3，则AC=8-3=5，
∵以O为圆心、OB为半径的圆与AC切于点D，
∵∠B=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB与圆O相切，
∴AD=AB=3，
所以CD=AC-AD=5-3=2；

（2）连接BD、DE，
∵以O为圆心、OB为半径的圆与AC切于点D，
∴∠CDE=∠CBD，
又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBD，
∴

CD

BC

=

CE

CD

，
∴CE=

CD•CD

BC

=

2×2

4

=1；

（3）BE=BC-CE=4-1=3，
∴OB=

3

2

，
∴图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积-半圆的面积
=

1

2

AB•BC-

1

2

π•（OB）²
=

1

2

×3×4-

1

2

×π×(

3

2

)2
=6-

9

8

π．

点评：此题考查的知识点是切线的性质，关键是运用勾股定理及相似三角形求出相应的值解答此题．