题目内容
【题目】如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=45°,将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后,点B的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.
(1)求证:AE⊥BD;
(2)若AD=2,CD=3,试求出四边形ABCD的对角线BD的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由题意可得△ABC是等腰直角三角形,由旋转得,再由对顶角相等,三角形内角和可得,即 ;
(2)如图,连接,依次证出△DCE是等腰直角三角形、△ADE是直角三角形,运用勾股定理得DE、AE的长,又因为BD=AE,从而求解.
(1)证:由题意可得 ,,∴.
设 与 、 分别交于点 ,∵,,
∴,即 .
(2)解:连接,
∵,
∴.
∵,∴,.
∴,
∴,∴.
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