Question

（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．
（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是

30°

；
②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．

Answer 1

分析：（1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；
②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出

OA

OE

=

OE

OB

，进而求出OA即可；
（2）设∠MON=n°，得出S_扇形MON=

nπ

360

×2²=

π

90

n进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可．

解答：解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，
∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，
∴∠EBA的度数是：30°；

②如图2，
∵直线l与⊙O相切于点F，
∴∠OFD=90°，
∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，
∴OF∥AD，
∵OF=AD=2，
∴四边形OFDA为平行四边形，
∵∠OFD=90°，
∴平行四边形OFDA为矩形，
∴DA⊥AO，
∵正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴O，A，B三点在同一条直线上；
∴EA⊥OB，
∵∠OEB=∠OAE，
∴△EOA∽△BOE，
∴

OA

OE

=

OE

OB

，
∴OE²=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±

5

，
∵OA＞0，∴OA=

5

-1；
方法二：
在Rt△OAE中，cos∠EOA=

OA

OE

=

OA

2

，
在Rt△EOB中，cos∠EOB=

OE

OB

=

2

OA+2

，
∴

OA

2

=

2

OA+2

，
解得：OA=-1±

5

，
∵OA＞0，∴OA=

5

-1；
方法三：
∵OE⊥EB，EA⊥OB，
∴由射影定理，得OE²=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±

5

，
∵OA＞0，
∴OA=

5

-1；

（2）如图3，设∠MON=n°，S_扇形MON=

nπ

360

×2²=

π

90

n（cm²），
S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S_扇形MON最大，
当∠MON取最小值时，S_扇形MON最小，
过O点作OK⊥MN于K，
∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，
在Rt△ONK中，sin∠NOK=

NK

ON

=

NK

2

，
∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，
∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，
①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，
∠MON=∠BOD=90°，S_{扇形MON最大}=π（cm²），
②当MN=DC=2时，MN最小，
∴ON=MN=OM，
∴∠NOM=60°，
S_{扇形MON最小}=

2

3

π（cm²），
∴

2

3

π≤S_扇形MON≤π．
故答案为：30°．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键．