题目内容
（2013•宜昌）如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x-t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）
（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A
（k＞0）
（k＞0）；
（2）随着三角板的滑动，当a=
时：
①请你验证：抛物线y1=ax（x-t）的顶点在函数y=-
x2的图象上；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2-y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2-y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．
（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A
（t，4）
（t，4）
，k=| 4 |
| t |
| 4 |
| t |
（2）随着三角板的滑动，当a=
| 1 |
| 4 |
①请你验证：抛物线y1=ax（x-t）的顶点在函数y=-
| 1 |
| 4 |
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2-y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2-y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．
分析：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值；
（2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=-
x2，若该点满足函数解析式y=-
x2，即表示该顶点在函数y=-
x2图象上；反之，该顶点不在函数y=-
x2图象上；
②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1=
x（x-t）即可求得t=2；
（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是
+4．则t+4=
+4，由此可以求得a与t的关系式．
（2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1=
| 1 |
| 4 |
（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是
| 4 |
| at |
| 4 |
| at |
解答：
解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，
∴点A的坐标是（t，4）．
又∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0），
∴4=kt，则k=
（k＞0）．
（2）①当a=
时，y1=
x（x-t），其顶点坐标为（
，-
）．
对于y=-
x2来说，当x=
时，y=-
×
=-
，即点（
，-
）在抛物线y=-
x2上．
故当a=
时，抛物线y1=ax（x-t）的顶点在函数y=-
x2的图象上；
②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．
∵AC⊥x轴，
∴AC∥EK．
∵点E是线段AB的中点，
∴K为BC的中点，
∴EK是△ACB的中位线，
∴EK=
AC=2，CK=
BC=2，
∴E（t+2，2）．
∵点E在抛物线y1=
x（x-t）上，
∴
（t+2）（t+2-t）=2，
解得t=2．
（3）如图2，
，则
x=ax（x-t），
解得x=
+t，或x=0（不合题意，舍去）．．
故点D的横坐标是
+t．
当x=
+t时，|y2-y1|=0，由题意得t+4=
+t，
解得a=
（t≥4）．
解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，∴点A的坐标是（t，4）．
又∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0），
∴4=kt，则k=
| 4 |
| t |
（2）①当a=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| t |
| 2 |
| t2 |
| 16 |
对于y=-
| 1 |
| 4 |
| t |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| t2 |
| 4 |
| t2 |
| 16 |
| t |
| 2 |
| t2 |
| 16 |
| 1 |
| 4 |
故当a=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．
∵AC⊥x轴，
∴AC∥EK．
∵点E是线段AB的中点，
∴K为BC的中点，
∴EK是△ACB的中位线，
∴EK=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴E（t+2，2）．
∵点E在抛物线y1=
| 1 |
| 4 |
∴
| 1 |
| 4 |
解得t=2．
（3）如图2，
|
| 4 |
| t |
解得x=
| 4 |
| at |
故点D的横坐标是
| 4 |
| at |
当x=
| 4 |
| at |
| 4 |
| at |
解得a=
| 1 |
| t |
点评：本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．
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